\( \sin^4(x) \)의 적분

유도 및 계산

다음 적분을 구하세요:

\[ \int \sin^4(x) \, dx \]

다음과 같이 변형합니다:

\[ = \int \sin^2(x) \sin^2(x) \, dx \]

삼각함수 항등식 \( \sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \)을 사용하여 적분식을 다시 씁니다:

\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos(2x))(1 - \cos(2x)) \, dx = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos(2x))^2 \, dx \]

피적분 함수를 전개합니다:

\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)) \, dx \]

삼각함수 항등식 \( \cos^2 \theta = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2\theta)) \)에서 \( \theta = 2x \)일 때 대입하면 \( \cos^2(2x) = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \)가 됩니다:

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( 1 - 2\cos(2x) + \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \right) dx \]

적분 기호 안의 항들을 정리합니다:

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( \dfrac{3}{2} - 2\cos(2x) + \dfrac{1}{2}\cos(4x) \right) dx \]

\( \int \cos(kx) \, dx = \dfrac{1}{k}\sin(kx) + c \)와 같은 기본 적분 공식을 사용하여 각 항을 계산합니다: